<div class="descF_item">A ce stade de calcul, la base ralisable \( B' \) est associe
aux variables \( \{y_3,y_4,y_2\} \). Pour la
prochaine itration, on aura besoin de \( B'' \)  la
place de \( B' \). Afin de ne pas encombrer le texte par 
les notations, il est naturel de garder les mmes symboles
\( B \), \( N \) et \( \lambda \) pour toutes les itrations du 
simplexe. En tenant compte de l'ordre des indices \( J_B = \{3,4,2\} \)
des variables de base et de \( J_N = \{1,5\} \), on obtient
<div class="math">\(B = \left( \begin{matrix} 
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1\end{matrix}  \right) \quad \mbox{ et } \quad N = \left( \begin{matrix} 
2 & 0\\
1 & 0\\
0 & 1\end{matrix}  \right).\)</div>
Par un simple calcul, on vrifie les galits suivantes :
<div class="math">\(B^{-1}N = \left( \begin{matrix} 
2 & -1\\ 1 & -2\\ 0 & 1\end{matrix}  \right), \; B^{-1}b = \left( \begin{matrix}  5\\ 1\\ 3 \end{matrix}  \right) \mbox{ et }
w_N^* = \left( \begin{matrix}  4 & -5\end{matrix}  \right).\)</div>
Le tableau simplexe relatif  cette itration est 



<table border=1 align="center" class="tableau"><tr><td>
\( y_1 \) &nbsp;</td><td>&nbsp; \( y_5 \) &nbsp;</td><td>&nbsp;  &nbsp;</td><td>&nbsp; </td></tr><tr><td>
\( 2 \) &nbsp;</td><td>&nbsp; \( -1 \) &nbsp;</td><td>&nbsp; \( 5 \) &nbsp;</td><td>&nbsp; \( y_3 \)</td></tr><tr><td>
<b> 1</b>   &nbsp;</td><td>&nbsp; \( -2 \) &nbsp;</td><td>&nbsp; \( 1 \) &nbsp;</td><td>&nbsp; \( y_4 \)</td></tr><tr><td>
\( 0 \) &nbsp;</td><td>&nbsp; \( 1 \) &nbsp;</td><td>&nbsp; \( 3 \) &nbsp;</td><td>&nbsp; \( y_2 \)</td></tr><tr><td>
<b> 4</b>   &nbsp;</td><td>&nbsp; \( -5 \) &nbsp;</td><td>&nbsp; \( 15 \) &nbsp;</td><td>&nbsp; </td></tr></table>




Noter que le vecteur \( B^{-1}b \) peut tre calcul aussi
via la formule 




<table align="center"><tr><td>
\( (B^{-1}b)_i \)</td><td> \leftarrow </td><td>\( \left\{ \begin{matrix}  
(B^{-1}b)_i -\lambda \gamma_i & \mbox{pour }i\neq r\\
\lambda & \mbox{pour }i = r \end{matrix}  \right. \)</td>
</tr>
<tr><td></td><td>= </td><td>\( \left ( \begin{matrix} 
8-3\times 1\\
7-3\times 2\\
\lambda \end{matrix} \right ) \)
</tr><tr><td></td><td> = </td><td>\( \left ( \begin{matrix} 5\\ 1\\ 3 
\end{matrix} \right ) \)
</td></tr></table>


De mme, la valeur \( Z = 15 \) qui correspond  \( Z(0, 3, 5, 1, 0) \)
peut tre obtenue  travers le rsultat \( Z \leftarrow Z
+\lambda w_s = 0+3\times 5 = 15. \) Ces deux constatations restent
valables pour les itrations qui suivent et pour n'importe
quel exemple.





\noindent Pour ce tableau, le vecteur \( w_N^* \) admet une seule composante 
strictement
positive qui est \( w_s = 4 \). Donc, la variable \( y_1 \) entre dans
la base au cours de l'itration 3. En ce qui concerne le 
nouveau paramtre \( \lambda \), on a :
<div class="math">\(\gamma = B^{-1}N_s = \left( \begin{matrix} 
2\\ 1 \\ 0 \end{matrix}  \right), \mbox{ et par suite
}\lambda = \min \{ \frac{5}{2},\frac{1}{1} \} = 1.\)</div>
Ainsi, la variable \( y_4 \) devient hors base. Il est
intressant de noter que les matrices \( B \) et \( N \) peuvent
tre dduites du tableau simplexe  partir des
variables de base et des variables hors base. Dans toute la suite
et lors de l'excution d'une itration simplexe, seul
le tableau simplexe sera donn. Bien entendu, on 
prcisera en gras les lments \( w_s \) et \( \gamma_r \) et 
on calculera le coefficient \( \lambda \),  chaque fois que cela
s'avre ncessaire.

</div>

