<div class="preu">    
Les hypothses
<div class="math">\(\left\{
\begin{matrix} 
f(a) f(b) < 0\\
f'(x) \neq 0, \;\; \forall x \in \lbrack a, \; b\rbrack \\
\end{matrix} 
\right.\)</div>
implique qu'il existe un unique \( \alpha\in \lbrack a,b\rbrack \) tel que \( f(\alpha) = 0 \). 
Comme \( f'' \) est de signe constant, on distingue deux cas:
<ol><li>  Si \( \displaystyle f''(x)>0, \;\forall\ x\in
  \lbrack a,b\rbrack  \) (donc \( f(x_0)>0 \)), alors, 
<ol><li>   Si \( f'(x)>0, \; \forall \ x\in \lbrack a,b\rbrack  \) on a:
<div class="math">\(\left\{
\begin{matrix} 
f(x)>0, \; \forall\ x\in \rbrack \alpha , \; b\rbrack \\
f(x)<0, \; \forall\ x\in \lbrack a,\; \alpha\lbrack \\
\end{matrix} 
\right .\)</div>
\noindent Comme \( f(x_0)>0 \), alors \(  x_0\in \rbrack \alpha ,b\rbrack   \). Par consquent, 
<div class="math">\(\displaystyle g(x) = x - {f(x)\over f'(x)}\Longrightarrow\; \displaystyle
g'(x) = {f(x)f''(x)\over (f'(x))^2} \geq 0, \; \forall\ x\in \rbrack \alpha ,
\;b\rbrack \)</div> Donc \( g \) est croissante sur \( \rbrack \alpha ,
\;b\rbrack   \). D'o, <div class="math">\(\alpha < x_0 \Longrightarrow \alpha = g(\alpha) \leq g(x_0) = x_1 \Longrightarrow x_1 \in \rbrack \alpha,
  \; b \rbrack \)</div>  
\noindent De plus, 
<div class="math">\(g(x_0) = x_1 = \displaystyle x_0 -{f(x_0) \over f'(x_0)} <
    x_0 \Longrightarrow \alpha \leq x_1 < x_0\)</div>
\noindent Par rcurrence, on obtient:
<div class="math">\(\displaystyle\alpha \leq...\leq x_{n+1}\leq x_n\leq ...\leq x_2\leq x_1\leq x_0\)</div>
Donc 
<div class="math">\(\left|  x_{n+1} - \alpha\right|<\left|  x_{n} - \alpha\right|\)</div>
c'est--dire \( (x_n) \) est dcroissante minore par \( \alpha  \).
Donc \( (x_n) \) est convergente. Comme \( x_{n+1} = g(x_n) \) et que \( g \) est
continue, \( (x_n) \) converge vers l'unique point fixe \( \alpha \) de \( g  \).
 </li><li>  Si \( f'(x) < 0, \; \forall \ x\in \lbrack a,b\rbrack  \) un raisonnement
  semblable au prcdent implique que \( (x_n) \) est croissante majore par \( \alpha  \).\\
Donc \( (x_n) \) est convergente. Comme \( x_{n+1} = g(x_n) \) et que \( g \) est
  continue, on obtient que \( (x_n) \) converge vers \( \alpha \) l'unique point fixe
  de \( g  \).
 </li></ol>
 </li><li>  Si \( \displaystyle f''(x) < 0, \;\forall\ x\in
  \lbrack a, \; b\rbrack  \) (donc \( f(x_0) < 0 \)). Alors le raisonnement prcdent, 
  avec \( f \) remplace par \( (-f), \) implique que  
 la suite \( (x_n) \) est convergente vers \( \alpha  \).
 </li></ol>
</div>