<div class="exo">    
On considre la formule d'intgration suivante : 
<div class="math">\(\displaystyle\int^1_{-1}f(x)\;dx\approx kf(\alpha)+f(\beta) \;\; (1)\)</div>
<ol><li>  Dterminer les valeurs de \( k, \; \alpha \) et \( \beta \) pour que \( (1) \) soit exacte sur \( \mathcal{ P}_2 \).
 </li><li>  En dduire les valeurs de \( k, \;\alpha \)  et  \( \beta \) pour que \( (1) \) soit d'ordre le plus lev possible.
 </li><li>  <ol><li>  Calculer le noyau de Peano dans le cas o \( (1) \) est d'ordre \( 3 \) et vrifier que ce noyau est une fonction paire.
 </li><li>  En dduire qu'il existe \( \xi\in \rbrack -1, \; 1 \lbrack \) tel que \( \displaystyle E(f)={1\over 135}f^{(4)}(\xi) \) o \( E(f) \) est l'erreur d'intgration.
 </li><li>  Donner la formule d'intgration relative  \( (1) \) sur \( \lbrack a, \; b \rbrack. \)
 </li><li>  Estimer l'erreur d'intgration obtenue par la mthode compose associe  \( (1) \) sur \( \lbrack a, \; b \rbrack \) avec un pas constant \( \displaystyle h={b-a\over n} \).
 </li></ol>
 </li></ol>
</div>