<div class="thm"> <span class="thm"> Thorme :  </span>
 Toute courbe paramtre \(C^1\) dont le vecteur vitesse 
ne s'annule pas  peut tre reparamtre par son abscisse curviligne. 
</div>

<div class="dem">
Posons
 \(\varphi(t)=\int_a^t || \gamma'(u)|| du ). 

On doit simplement montrer que  \(\varphi \) est bien un changement de paramtres, c'est--dire est une bijection
drivable de l'intervalle \(I) sur un un intervalle \(J) dont la fonction rciproque est encore drivable. On va bien sr prendre
\(J=\varphi(I) ). il s'agit alors de montrer que la drive \(\varphi') de 
\(\varphi ) est une fonction strictement positive grce au \fold{thmbij}{thorme des bijections sur R.} Or  
<center>\(  \varphi'(t) =||\gamma'(t)||  )</center>
par le \fold{derint}{thorme de drivation.}

Le nouveau paramtrage \(s=\varphi(t)) est alors 
une abscisse curviligne : pour le montrer, il suffit de montrer que pour les nouvelles quations, la drive est de norme 1. 
Les nouvelles quations sont 
<center>
\(x= f \circ \varphi^{-1}(t)=f_1(s) , y= f \circ \varphi^{-1}(s)=g_1(s))
</center>
On a donc 
<center>
\(f_1(\varphi(t))= f(t), g_1(\varphi(t))= g(t))
</center>
ou encore \(\gamma_1(\varphi(t))= \gamma(t) ). En drivant , 
<center>\(  \varphi'(t) \gamma_1'(\varphi(t))= \gamma'(t) )</center>
et 
<center>\( |\varphi'(t)| . ||\gamma_1'(\varphi(t))||= ||\gamma'(t)|| ).</center>
Comme \(\varphi'(t) =|| \gamma'(t)|| ) est non nul, on en dduit bien que \(||\gamma_1'||=1 ). 
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