<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Formes quadratiques} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS5}{V  Application: Coniques du plan affine euclidien} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> V-3  Centre de symtrie d'une conique</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Formes quadratiques et formes polaires associes}

\link{mainS2}{II  Orthogonalit}

\link{mainS3}{III  Dcomposition en carrs d'une forme quadratique}

\link{mainS4}{IV  Formes quadratiques sur un espace euclidien}

<div class="left_selection">\link{mainS5}{V  Application: Coniques du plan affine euclidien}</div>


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">
<h2 class="defn">Dfinition</h2><div class="defn"> 
Soit \( \omega\in {\cal E} \) et \( S_{\omega} \) la symtrie centrale de \( {\cal E} \) de centre \( \omega \),
on dit que 
\( \omega \) est <b><font color="red">centre de symtrie de \( {\cal C} \)</font></b>  ,<a name="centre de symtrie">
si pour tout point \( M \) de \( {\cal C} \), \( M'=S_\omega (M) \) appartient  \( {\cal C} \). 
</div>


Nous allons donner maintenant une condition ncessaire et suffisante pour qu'un point du plan soit le centre de symtrie d'une conique. 
<h2 class="thm">Proposition</h2><div class="thm">
Soit \( \omega \) un point de coordonnes \( X_0=\left(\begin{matrix} 
x_0\\  y_0\\ 
\end{matrix} \right) \) dans \( {\cal R} \). Les assertions suivantes sont quivalentes
<ol><li>  \( \omega \) est <b><font color="red">centre de symtrie de</font></b>   \( {\cal C} \)
 </li><li>  \( AX_0 = -{^{t}\!B\over 2} \) 
  </li><li>  (S) \( \left\{\begin{matrix} 
  2ax_0+by_0+d &=& 0\\
 bx_0+2cy_0+e &=& 0\\
\end{matrix} \right. \)
 </li></ol>
</div>



 
\fold{mainS5S3F_proof1}{<span class="dem">Dmonstration</span>

}


<h2 class="defn">Remarque</h2><div class="defn">
<ol><li>  Il existe un unique centre de symtrie de la conique \( {\cal C} \) si et seulement si \( A \) est de rang \( 2 \), c'est--dire si \( q \) est non dgnre.
  </li><li>  Dans le cas o \( q \) est dgnre,  le systme (S) n'est pas de Cramer et 
 la conique \( \cal C \) n'a pas ncessairement 
 un centre de symtrie.
  </li></ol>
 </div>


<h2 class="thm">Proposition [Equation rduite de \( \cal C \)]</h2><div class="thm">
<ol><li>  Il dcoule immdiatement de la proposition prcdente que  \( \omega \) est centre de symtrie de \( {\cal C} \) si et seulement si l'quation de \( {\cal C} \) dans \( {\cal R}_{0} \) est <div class="math">\(^{t}\!YAY+^{t}X_0AX_0+BX_0+f=0.\)</div>
  </li><li>  On note \( (x",y") \) les composantes de \( M \) dans le repre \( {\cal R"}=(\omega,v_1  ,v_2  ) \), alors l'quation de \( \cal C \) dans \( {\cal R"} \) a 
 l'une des deux formes suivantes:
 <div class="math"><a name="Eq3">\(  
 \lambda x"^2+\mu y"^2+h=0  \quad \mbox{ou} \quad \lambda x"^2-2\beta_2y"+h=0.
 
  \)</div>
   
 </li></ol>
 </div>


 Sans perte de gnralit, on suppose que \( \lambda \geq 0 \) dans tout ce qui suit.</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS5S1}{V-1  Dfinitions}

\link{mainS5S2}{V-2  Forme rduite d'une quation de conique}

<div class="right_selection">\link{mainS5S3}{V-3  Centre de symtrie d'une conique}</div>

\link{mainS5S4}{V-4  Classification des coniques}

\link{mainS5S5}{V-5  Tableaux rcapitulatifs}

\link{mainS5S6}{V-6  Exemples et exercices}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>