<div class="dem">   
<ol><li>  Existence:
Soit \( {\cal B} \) une base orthonorme de \( E \), notons \( M = Mat(q,{\cal B}) \) et \( b \) la forme polaire de \( q \). Pour tous \( x \) \quad et \( y \) de \( E \), si \( X \) et \( Y \) dsignent leurs matrices des composantes respectives on a,
<div class="math">\(b(x,y)= ^{t}\!XMY= ^{t}\!(MX)Y \)</div> car M est symtrique. l'endomorphisme \( u \) de \( E \) de matrice \( M \) dans la base \( {\cal B} \), est autoadjoint \fold{}{(Pourquoi?)}{En effet, sa matrice dans une base orthonorme est symtrique.}  
et on a \( b(x, y) = <u(x), y> \). 
 </li><li>  Unicit:
Supposons qu'il existe deux endomorphismes autoadjoints \( u \) et \( u' \) vrifiant
<div class="math">\( b(x, y) = <u(x), y> = <u'(x), y>\)</div>
\( \forall (x,y) \in E\times E  \).
Par consquent, 
<div class="math">\(u(x) -u'(x) \in E^\bot = {0} \quad\forall x \in E .\)</div>
D'o, <div class="math">\(u = u' .\)</div>
 </li></ol>
</div> <div class="fin"> Fin de la dmonstration</div>