
<h2 class="defns">Dfinitions</h2><div class="defns">
<ol><li>   Soit \( b \) une forme bilinaire symtrique sur \( E \). 
Deux vecteurs \( x \) et \( y \) de \( E \) sont dits <b><font color="red">orthogonaux 
par rapport  \( b \)</font></b>  <a name="orthogonalit!vecteurs"> si \( b(x, y) = 0 \).
 </li><li>  Une base \( (v_1,...,v_n) \) de \( E \) est dite <b><font color="red">orthogonale par rapport  \( b \)</font></b>   si 
<div class="math">\(b(v_i,v_j)=0 \quad\forall\quad i\not=j , 1\leq i,j\leq n .\)</div>
 </li><li>  Si \( q \) est la forme quadratique associe  \( b \). Deux vecteurs \( x \) et \( y \) sont 
dits <b><font color="red">orthogonaux par rapport  \( q \)</font></b>  
 s'ils sont orthogonaux par rapport  \( b \).
 </li><li>  Pour tout sous-espace vectoriel \( F \) de \( E \), on dfinit 
<b><font color="red">l'orthogonal de \( F \) pour \( b \)</font></b>  , not \( F^\bot \) :  
<div class="math">\(F^\bot = \left\{x \in E / b(x,y) = 0, \forall y \in F\right\}.\)</div> 

 </li></ol>
</div>


<h2 class="defn">Remarques</h2><div class="defn"> Soit \( b:E\times E\rightarrow\mathbb R \) une forme bilinaire symtrique.
<ol><li>  Une base \( B(v_1,\cdots, v_n) \) de \( E \) est orthogonale par rapport  \( b \) si et 
seulement si \( Mat(b,{\cal B}) \) est diagonale.

 </li><li>  Soit \( {\cal B} \) une base de \( E \) et \( M = Mat(b,{\cal B}) \), trouver une base orthogonale par rapport  \( b \) revient  trouver \( P\in GL_n(\mathbb R) \) telle que \( ^{t}\!PMP \) soit diagonale.

 </li></ol>
</div>


<h2 class="defn">Dfinition [Vecteur isotrope]</h2><div class="defn">
Un vecteur \( x \) est dit <b><font color="red">isotrope</font></b>  <a name="isotrope"> (pour \( q \)) si \( q(x) = 0 \).
</div>


<h2 class="defn">Remarques</h2><div class="defn">
<ol><li>  Il se peut qu'il existe des vecteurs isotropes non nuls. Par exemple, si \( E=\mathbb R^2 \) et 
<p class="math">\(\begin{matrix} 
b:E\times E&\rightarrow&\mathbb R\\
((x_1,x_2),(y_1,y_2))&\mapsto& x_1y_1-x_2y_2\\
\end{matrix} \)</p>
le vecteur \( \left(1,1\right) \) est isotrope pour \( q \).
 </li><li>  Les vecteurs du noyau d'une forme quadratique sont isotropes mais la rciproque est fausse.
 </li><li>  Si tout vecteur de \( E \) est isotrope, alors la forme quadratique \( q \) est nulle. 
 </li></ol>

</div>

