<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Formes quadratiques} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS1}{I  Formes quadratiques et formes polaires associes} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> I-3  Rang et noyau d'une forme quadratique</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
<div class="left_selection">\link{mainS1}{I  Formes quadratiques et formes polaires associes}</div>

\link{mainS2}{II  Orthogonalit}

\link{mainS3}{III  Dcomposition en carrs d'une forme quadratique}

\link{mainS4}{IV  Formes quadratiques sur un espace euclidien}

\link{mainS5}{V  Application: Coniques du plan affine euclidien}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">
<h2 class="defn">Dfinition</h2><div class="defn"> 
<ol><li>  Soit \( q \) une forme quadratique de \( E \) et \( {\cal B} \) une base de \( E \),  \( M=Mat(q,{\cal B}) \). 
On appelle <b><font color="red">rang de \( q \)</font></b>  ,<a name="rang"> not \(  {\rm rg\, } q \), le rang de la matrice \( M \).


 </li><li>   On appelle <b><font color="red">noyau de \( q \)</font></b>  <a name="noyau"> le sous-espace vectoriel  de \( E \) :
<div class="math">\( {\rm ker\, } q = \{x\in E ; \forall\quad y\in E,\quad  b(x,y)=0\}.\)</div>
 </li></ol>

</div>


<h2 class="defn">Remarque</h2><div class="defn">
Remarquons que \(  {\rm rg\, } q \) ne dpend pas de la base choisie et le noyau de \( q \) 
est celui de sa matrice relativement  n'importe quelle base.
\fold{}{(Pourquoi?)}{En effet, si 
 \( {\cal B'} \) est une autre base de \( E \) et \( A=Mat(q,{\cal B'}) \) alors \( A = ^{t}\!PMP \)  et  \(  {\rm rg\, } A =  {\rm rg\, } M \), d'autre part, il est clair que \(  {\rm ker\, } M \subset  {\rm ker\, } q \), rciproquement,
 si \( x \in  {\rm ker\, } q \) alors <div class="math">\( \forall \quad y\in E, \quad b(x,y)=^{t}\!XMY = ^{t}\!YMX = 0  \)</div> donc \( \quad MX=0 \) et par consquent, \(  x \in  {\rm ker\, } M \).}  
</div>






 
\fold{mainS1S3F_exF1}{<span class="exemple">Exemple</span>

}</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS1S1}{I-1  Dfinitions}

\link{mainS1S2}{I-2  Expression analytique d'une forme quadratique}

<div class="right_selection">\link{mainS1S3}{I-3  Rang et noyau d'une forme quadratique}</div>

\link{mainS1S4}{I-4  Formes quadratiques non dgnres}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>