Soit \( E ) un espace vectoriel de dimension finie \( n ) et 
 \( f ) un endomorphisme de \( E ). Si  \calB  est une base de \( E ), on note 
 \( Mat_{\mathcal B} ) la matrice reprsentant \( f ) dans la base  \calB . 
 
<div class="defn"><span class="defn">Dfinition</span>
Le scalaire \( det_{\mathcal B} (Mat_{\mathcal B} (f) )) ne dpend 
 pas de la base  \calB .
On l'appelle le <span class="definition">dterminant de \( f )</span>. 
</div>

<div class="dem">
\fold{}{<span class="dem">Dmonstration</span>}{<span class="dem">Dmonstration</span>
: On applique la formule de changement de base :  
si \( P ) est la matrice de passage de la base  \(\mathcal B)  
 une base  \(\mathcal B')
<p align="center">\(Mat_{{\mathcal B}'} (f) = P^{-1} Mat_{{\mathcal B}'} (f) P)</p>
Par multiplicativit du dterminant, 

<p align="center">\(\det Mat_{{\mathcal B}'} (f) = \det(P)^{-1} \det Mat_{{\mathcal B}'} (f) \det(P)
= \det Mat_{{\mathcal B}'})</p>}
</div>

<div class="thm"><span class="thm">Thorme</span> :
<ul><li>
 <p align="center">\(\det(f \circ g ) = \det(f)  \det(g ))</p>
</li><li>
 <p align="center">\(det(id_E) = 1)</p>
</li><li>
 \( f ) est un automorphisme de \( E ) si et seulement si \( \det(f)) \neq 0
 et on a alors 
<p align="center">\( \det(f^{-1}) =  \det(f)^{-1})</p>
</li></ul>
 </div>
 
 