<h2>Matrice chelonne</h2>

<div id="def"> Une matrice \( A=(a_{i,j})_{1\leq i \leq p,1\leq j\leq n}\in M_{p,n}(K) ) 
est dite <b> chelonne </b> 
ou <b> en chelons </b> s'il existe un entier \( r ), \( 1\leq r\leq 
\min(p,n) ) et
 une suite d'entiers \( 1\leq j_1<j_2<\ldots<j_r\leq n ) tels que :
 <ul>
 	<li>   \( a_{i,j_i}\not=0, \ 1\leq i\leq r, \quad a_{i,j}=0, \ 1\leq 
i\leq r, 1\leq j<j_i) (\(i\geq 2 ) si \(j_1=1) ) ;\par
(c'est--dire que les \( a_{i,j_i} ) sont les premiers coefficients non 
nuls des \( r ) premires lignes, on les appelle <b>  pivots </b> et on remarque 
qu'il n'y a qu'un pivot par ligne et par colonne.)</li> 
 
 	<li>  \( a_{i,j}=0, \ r<i\leq p, \ 1\leq j\leq n. ) (c'est--dire que 
toutes les lignes aprs les \( r ) premires sont nulles)</li> 
 </ul>
</div>

\fold{matechelon}{<b>  Exemple. </b>}
<p>
\exercise{new&module=U1/algebra/oefsyslin.fr&exo=matrechelon}{exercice : Cette matrice est-elle chelonne ?}

<h2>Systme linaire chelonn</h2> 

<div id="def">Un systme linaire \( AX=B ) 
 possdant une matrice chelonne 
est dit <b> chelonn </b> ;  l'entier \( r ) s'appelle 
le <b> rang </b> du systme (ou de la matrice \( A ) du systme), les 
inconnues \( x_{j_1},\cdots,x_{j_r} ) sont les <b> inconnues 
principales </b> et les autres inconnues  sont dites  <b> non 
principales </b> ou <b>  secondaires </b>. 
Enfin, les coefficients non nuls 
\( a_{i,j_i}, 1\leq i\leq r ),  sont les <b> pivots </b> du 
systme.</div>
<p class="p3">Compatibilit</p>
<ul>
<li><b>cas  \( r=p ) </b>
Le systme linaire est compatible.
L'galit \( r=p ) signifie que les conditions imposes aux variables (les 
quations) sont indpendantes donc compatibles entre elles.</li>
<li><b>cas  \( r<p ) </b> 
Les \( p-r ) dernires quations ont leurs premiers membres nuls, donc 
le systme est compatible si et seulement si les \( p-r ) derniers 
seconds membres sont nuls. On a donc \( p-r ) conditions de 
compatibilit  vrifier.</li></ul>

\exercise{module=U1/algebra/oefsyslin.fr&cmd=new&exo=qcmcompatible}{exercice : Questions sur le rang et la compatibilit}

<p class="p3">Rsolution</p>
<p>
Si le systme n'est pas compatible, par dfinition son ensemble de 
solutions est vide. S'il est compatible, on fait passer les inconnues 
secondaires dans le second membre et on les considre comme des 
paramtres (on  a donc \( n-r ) paramtres) et on rsoud le systme en 
commenant par calculer \( x_r ) dans la dernire quation et en 
remontant.
<p>
Bien sr si on a l'galit \( n=r ), alors la solution, <b>  quand elle 
existe </b>, est unique.
Dans le cas particulier  : \( r=p=n ), le systme est 
dit de <b>Cramer</b>, il a une et une solution.
<p>
\exercise{module=U1/algebra/oefsyslin.fr&cmd=new&exo=inconnues}{Exercice : Inconnues principales, secondaires}
<p>
En rsum, l'ensemble des solutions peut tre vide 
(systme incompatible), contenir un unique lment (systme 
compatible et \( r=n )) ou une infinit.

<h2>Conseils pour la rsolution d'un systme linaire chelonn </h2>
<p class="p3"> On commence par dterminer \(r), \(p) et \(n) puis on dresse 
la liste des cas possibles :</p>
<ul>
	<li> systme incompatible</li>

	<li>  systme compatible et solution unique.
	Indiquez le nombre de conditions de compatibilit.</li>

	<li>  systme compatible et infinit de solutions. 
	Indiquez le nombre de conditions de compatibilit et le 
	nombre de paramtres.</li>
</ul> 

<p class="p3">Avant de se lancer dans des calculs, il est important d'avoir une ide 
sur le type possible de l'ensemble des solutions.
</p>
<p>A la fin des calculs, on prsente l'ensemble des solutions sous la forme de la somme d'une solution 
particulire et de l'ensemble des solutions du systme homogne 
(prsentes comme combinaison linaire de \(n-r) solutions indpendantes).</p>
<ul><li>
\fold{echelonex1}{<b>Exemple 1</b>}
</li><li>
\fold{echelonex2}{<b>Exemple 2</b>}
</li><li>
\fold{echelonex3}{<b>Exemple 3</b>}
</li><li>
\fold{echelonex4}{<b>Exemple 4</b>}
</li></ul>

A vous de travailler :
\exercise{new&module=U1/algebra/oefsyslin.fr&exo=systechelon}{Rsolution d'un systme chelonn}
<p>
Parfois, on peut trouver l'ensemble des solutions sans rsoudre le systme.
<ul><li>\exercise{module=U1/algebra/oefsyslin.fr&cmd=new&exo=sol1}{Exercice 1}</li>
<li>\exercise{module=U1/algebra/oefsyslin.fr&cmd=new&exo=sol2}{Exercice 2}</li>
</ul>